Hermano mayor de una familia de 9 hermanos, Moussa Saib comenzó a practicar el fútbol siendo un niño en el club principal de su ciudad natal, el CS Theniet el Had, un modesto club situado en el norte de Argelia al que ingresó a los 11 años y con el que jugó hasta los 18. Fue a esa edad cuando perdió a su padre y tuvo que convertirse en el cabeza de familia. Poco después, recibió una oferta del Jeunesse Sportive Musulmane Tiaret, un importante club de la Primera División argelina, con el que completó dos buenas temporadas, llegando a ser convocado con la selección nacional dirigida por Kamel Lemoui para disputar los partidos de clasificación para el Mundial de 1990.

En 1989, Saib quiso dar el salto al Jeunesse sportive de Kabylie, el club más prestigioso de la Liga argelina. Sin embargo, el Tiaret, con el que aún tenía contrato, se negó a aceptar el traspaso y comenzó una polémica que finalizó con Moussa firmando por el Kabylie, lo cual le supuso una suspensión de dos años por parte de la Federación Argelina de Fútbol. Pese a no poder jugar partidos de Liga y Copa, Saib siguió jugando de forma regular con la selección nacional. Sus buenas actuaciones con Argelia le valieron el perdón de la Federación, por lo que pudo volver a jugar en competición nacional, logrando el título de Campeón de Argelia en 1990 y la Liga de Campeones de África.

La ascendente trayectoria de Moussa Saib comenzó a llamar la atención de los ojeadores de la Liga francesa y en el verano de 1992, fue fichado por el AJ Auxerre. Sus inicios en el club francés no fueron fáciles, ya que en su primera temporada fue enviado al equipo reserva para adaptarse al equipo. Armado de paciencia, espera su oportunidad mientras conquista la Copa Gambardella con los suplentes. La temporada siguiente fue ascendido al primer equipo, convirtiéndose en una pieza clave del conjunto francés. En 1994, conquistó la Copa de Francia tras derrotar 3-0 en la final al Montpellier y marcar el primer gol del partido. Dos años más tarde, el club galo lograría el doblete al conquistar la Liga y la Copa de Francia, un hito histórico para la entidad.

En 1997, a los 28 años de edad, Moussa Saib se encuentra ante la encrucijada de tomar una decisión para cambiar su destino. Había disputado un total de 153 partidos oficiales con el Auxerre en los que había marcado 25 goles. Ese verano recibe una oferta del Arsenal inglés y del Valencia CF, pero finalmente decidió aceptar la oferta del conjunto entrenado por Jorge Valdano que pagó unos 3,5 millones de euros por su traspaso. Llegó a Mestalla un centrocampista con fama aguerrido, con experiencia en tareas defensivas, buena calidad técnica y visión de juego en el último pase. Fijo durante el primer tercio de la temporada, el despido del técnico argentino en la tercera jornada de Liga le afectó negativamente, ya que el nuevo entrenador, Claudio Ranieri, tenía una visión del fútbol en la que el argelino no encajaba.

Con el cambio de año, había jugado sólo 14 partidos de Liga y dos de Copa, y sus opciones de jugar con regularidad eran mínimas, por lo que buscó una salida para continuar con su carrera. Saib marchó traspasado al Tottenham durante el mercador de invierno, en una operación nefasta en la que el Valencia perdió casi 100 millones de pesetas, dejando la sensación de que se iba un jugador que podía haber sido mejor aprovechado. Con el conjunto inglés jugó 9 partidos y marcó un gol hasta el final de la temporada. El curso siguiente el equipo británico logró salvar el descenso, pero Moussa no convenció a los técnicos ya que apenas jugó cuatro partidos, y marchó al Al-Nasr, de Arabia Saudita, para volver al Auxerre una temporada después, con el que pudo volver a disfrutar del fútbol jugando 17 partidos de Liga. En 2001 fichó por el Mónaco, con el que jugó 7 partidos antes de ser traspasado en enero al Lorient, con el que participó en 8 encuentros de Liga. En 2002, marchó al Dubai Club de Emiratos Árabes Unidos y posteriormente al Al-Ahli, de Dubai, antes de volver en enero de 2003 al Kabylie con el que logró proclamarse campeón de Liga de Argelia en 2004, momento en el que decidió poner punto final a su carrera como futbolista profesional.

Una vez retirado, en 2006, comenzó su carrera como entrenador en el Olympique Noisy-le-Sec de Francia. Poco después fichó como técnico del club argelino en el que había logrado sus mayores éxitos como jugador, el JS Kabylie, donde permaneció durante varias temporadas.