Nacido en la Vall d'Uxó, el lateral izquierdo José Vicente Quevedo llegó al Mestalla en el verano de 1994, a los 20 años de edad. Debutó en Segunda División B el 10 de septiembre de 1994, en partido de Liga contra el Levante, y terminó la temporada jugando 11 partidos, 7 de ellos como titular. Se mantuvo en el equipo filial durante dos campañas más, totalizando 55 apariciones, y en el verano de 1997 se marchó cedido al Club Deportivo Mensajero de Santa Cruz de Tenerife, junto a José Miguel Tornell. Al contrario que su compañero de equipo, Quevedo sí regresó al club valencianista para defender la camiseta del filial una temporada más, aunque apenas contó para el nuevo técnico, José Manuel Rielo, con el que sólo jugó 3 partidos de Liga. En julio de 1999 abandonó la disciplina valencianista para fichar por el Ontinyent, con el que disputó 12 partidos (8 como titular) durante un difícil curso en el que el equipo valenciano terminó perdiendo la categoría y descendiendo a Tercera División.