Francisco Cotino se formó en la cantera del Alacuás, su localidad natal, antes de fichar por el Levante, donde se formó como central, debutando en Segunda División a los 19 años de edad bajo las órdenes del ex-valencianista Roberto Gil, participando en 12 partidos de una agitada temporada que acabó con el equipo en Segunda B. El descenso le sirvió para asentarse en el primer equipo y ganar experiencia, convirtiéndose en un central de buena técnica y con buena salida de balón, y cuya envergadura y fuerza física le hicieron destacar desde muy joven.

Llegó al Valencia tras el drama del descenso, en una época de penurias económicas para un club cuya precariedad económica obligaba a aguzar el ingenio en el mercado de fichajes. Cotino eligió el Valencia, pero acabó alternando convocatorias con el Mestalla durante cuatro temporadas en las que apenas participó en tres partidos oficiales con el primer equipo, en una trayectoria lastrada principalmente por una gravísima lesión durante un partido con el filial en Cuenca, el 21 de febrero de 1988, en el minuto 37 de la 25ª jornada de Liga, durante un lance en el cual su rodilla quedó hecha añicos.

Tras una dura y complicada recuperación, tuvo una breve aparición de un minuto en Primera el 21 de abril de 1990 en Atocha frente a la Real Sociedad. Continuó su carrera en el verano de 1990 con el Alzira en Segunda División B, completando 49 intervenciones (y 3 goles) en dos temporadas. Con el descenso del equipo a Tercera y tras cumplir la treintena, decidió colgar las botas.