Hijo del conocido árbitro internacional José María Enríquez Negreira, Javier Enríquez nació en Barcelona y se formó como centrocampista en las categorías inferiores del Barça y del Espanyol. Debutó profesionalmente en Segunda División B con el Sabadell, club en el que permaneció durante dos temporadas, y con el que disputó 30 partidos entre 1994 y 1996 en Segunda B. Ese verano fichó por el Mestalla de Pep Balaguer, con el que apenas pudo jugar 4 partidos pero con el que logró marcar su primer gol como profesional. Completó la pretemporada de 1997 con el primer equipo llegando a participar en un partido amistoso contra el Mestalla, pero ese verano fichó finalmente por el Hospitalet, con el que participaría en 31 encuentros en Segunda B hasta 1999. Pasó también por Sant Andreu y Mataró antes de retirarse del fútbol en activo.

Tras colgar las botas, Javier fue ayudante técnico de Valdano, Rainieri y Luis Aragonés, con quien trabajaría durante casi 20 años. Tras trabajar en el departamento técnico de varios equipos como Rayo Vallecano, Atlético de Madrid o Valencia CF, formó parte también del cuerpo técnico de la selección española con Luis Aragonés, con quién participó en un Mundial y participé de la conquista en la Eurocopa de 2008, marchando con él a la aventura del Fenerbahçe turco. Posteriormente se dedicó a tareas de coaching deportivo.