Nacido en L'Alcudia, Andrés Palop se formó en las categorías inferiores del equipo de su localidad natal hasta que en 1995, a los 22 años, firmó por el Mestalla. Se trataba de un portero con grandes cualidades físicas y liderazgo bajo los palos y en toda la zona defensiva. Durante sus dos primeras temporadas jugó a un magnífico nivel, debutando incluso con el primer equipo en un partido amistoso contra su ex-equipo, L'Alcudia, el 7 de agosto. Jugó un total de 48 partidos con el filial en Segunda B y en 1997 marchó cedido al Villarreal CF, con el que logró el ascenso a Primera División por primera vez en la historia del club castellonense. En la máxima categoría Palop siguió defendiendo la portería del Villarreal con grandes actuaciones, aunque no pudo evitar el descenso del equipo.

En 199, Palop regresó al Valencia con 26 años y una gran experiencia a sus espaldas, decidido a luchar por un puesto en el once titular. Al inicio de la temporada, jugó con regularidad tanto en Liga como en la Champions League debido a la lesión de Santiago Cañizares. Pero a la vuelta de éste, Palop se vio relegado al banquillo y apenas defendió la portería en las dos campañas siguientes. Pese a declarar públicamente estar contento de formar parte del equipo campeón de Liga y competir en la Liga de Campeones, lo cierto es que Palop necesitaba un impulsar su carrera, pero la sequía de ofertas le obligó a permanecer en Valencia la temporada 2002-2003, en la que sólo disputó nueve partidos.

Utilizado regularmente en la Copa del Rey y en la Copa de la UEFA 2003-2004, Palop se lesionó los ligamentos durante el calentamiento para un partido europeo contra el Gençlerbirligi SK en marzo, lesión que le descartó durante dos meses y le dejó sin opciones de defender la portería valencianista en la final de la UEFA contra el Olympique de Marsella. La temporada 2004-2005 no fue demasiado buena para él, puesto que la mayoría de los partidos los vio desde el banquillo. En el verano de 2005, y ante la falta de continuidad, Palop tomó la decisión de abandonar el club y aceptar una oferta de cuatro años del Sevilla FC.

Palop llegó al Sevilla a los 32 años, y en el club andaluz vivió los mejores años de su carrera deportiva. En las ocho temporadas en las que defendió la portería del Sánchez Pizjuán ganó dos Copas, dos UEFAS, una Supercopa de Europa y una Supercopa de España. El año 2007 fue especialmente exitoso para Palop. El 15 de marzo, se convirtió en el héroe del partido de vuelta de los octavos de final, ya que su equipo perdía 2-1 con el Shakhtar Donetsk ucraniano y en el tiempo de descuento marcó el gol del empate al rematar de cabeza un saque de esquina. En la final contra el Espanyol, Palop volvió a ser el héroe al parar tres lanzamientos durante la tanda de penalties.

En junio de 2013, con casi 40 años, anuncia su retirada del Sevilla tras 295 partidos oficiales y ficha por el Bayer Leverkusen. Disputa esa temporada la Bundesliga y la Champions League, y al final de la campaña decidió colgar las botas.