José Ginesta nació en la localidad barcelonesa de Mataró, donde dio sus primeros pasos como futbolista, primeramente en el equipo juvenil del Club Esportíu Mataró y seguidamente en el primer equipo, antes de ser traspasado al Cádiz en 1956, equipo en el que dio sus primeros pasos como futbolista profesional, debutando en Segunda División a los 19 años de edad, el 18 de noviembre de 1956, contra el Alicante. En 1959 fue fichado por el Sabadell, donde creció y ganó en experiencia.

Era un portero alto y espigado, con hechuras de guardamenta experimentado y una agilidad que pronto le convirtió en uno de los mejores de la categoría. El Valencia lo contrató en el verano de 1961. Llegó a Mestalla con 24 años, sin experiencia en Primera, pero con un potencial enorme. El club de Mestalla pensó en él como una inversión a largo plazo, pero la venta de Pesudo al Barcelona le dio la titularidad nada más llegar. Jugó como titular toda la pretemporada y debutó en la primera jornada de Liga en Zaragoza, el 3 de septiembre de 1961, con la mala fortuna de encajar tres goles.

Jugó un total de 19 partidos oficiales esa temporada, entre Liga, Copa y Copa de Ferias, en los que encajó 27 goles. Hubo ocasiones en las que parecía verse abrumado por la responsabilidad, pero también tuvo actuaciones excelentes, como en los dos míticos partidos como visitante en la primera Copa de Ferias, 1-5 de Nottingham y 3-7 en Budapest. La llegada de Zamora en su segunda temporada le relegó a una suplencia que no terminó de aceptar, por lo que se marchó al Atlético Ceuta, donde disputó 26 partidos en Segunda División en la temporada 1963-1964.