Nacido en Avilés, Abdón García se formó como ala diestro en la cantera del Oviedo llegando a estar preseleccionado para el equipo nacional. Provocó un terremoto en Asturias a comienzos de la década de los 30, cuando trató de fichar por el Sporting de Gijón. Aquello casi terminó en los juzgados, alegando el equipo ovetense que incluso se le había ofrecido un partido homenaje para ayudar a su familia de diez hermanos tras haber perdido la vivienda en un incendio. Al final, el beneficiado fue el Valencia, que a través de Luis Colina consiguió su fichaje, repartiéndose ambos clubes el dinero del traspaso de forma equitativa.

Colina era listo como nadie, y no escatimó en esfuerzos para construir una plantilla competitiva a nivel nacional. Abdón era un futbolista de banda clásico, con mucha técnica pero muy duro, a quien la prensa de la época llamó «diez reales» precisamente por eso, porque era un medio duro. En Mestalla se alió con Tonín Conde, que ocupaba la banda derecha, y con Carlos Iturraspe, en el centro, para conformar la media más utilizada durante los primeros cursos en la élite del fútbol nacional. Permaneció en el primer equipo durante cuatro temporadas en las que el equipo consiguió consolidarse en la máxima categoría. Disputó un total de 115 partidos en los que marcó 15 goles.

Por alguna extraña razón, acababa casi todas las temporadas como transferible, pero el club siempre acababa por renovarle, hasta que en el verano del 35, ya no llegó ese acuerdo y el futbolista se marchó al Atlético de Madrid, donde apenas disputó un par de partidos de Liga en una temporada en la que los colchoneros evitaron el descenso en las últimas jornadas. Con la llegada de la Guerra Civil, fue oficial republicano en primera línea de combate durante la ofensiva del Norte. Militante de izquierdas reconocido, no sufrió la represión de la posguerra, y a mediados de los años 40 pasó a ejercer labores técnicas. Entrenó al Compostela, y en abril de 1948, en uno de los viajes del equipo a Galicia, aprovechando la visita al Celta de Vigo, el Valencia hizo parada en Santiago para homenajear a su ex-jugador en un partido amistoso que supuso todo un acontecimiento en la localidad compostelana.