Formado como guardameta en las categorías inferiores del Real Aranjuez Club de Fútbol, club de su localidad natal, Juan Luis Mora fue ascendido por el técnico Antonio López al primer equipo a los 19 años, debutando en Segunda División B el 2 de septiembre de 1992 frente al Rayo Majadahonda. Tras un notable curso en el equipo madrileño, en el que encajó 24 goles en 25 partidos oficiales, el guardameta fue fichado por el Real Oviedo, pasando inicialmente a formar parte de su equipo filial, en el que bajo las órdenes de José Antonio Novo disputa un total de 21 encuentros (19 goles encajados), un rendimiento tan bueno que lleva a Radomir Antic a alinearle con el primer equipo durante el tramo final de la temporada, en la que juega 5 partidos, encajando únicamente 2 goles.

Desde el verano de 1994, ya como jugador de la primera plantilla a todos los efectos, Juan Luis se convierte en titular indiscutible con el equipo carbayón durante las tres siguientes campañas, con 117 titularidades en partidos oficiales en las que encaja 159 goles. A partir de 1997, con la llegada del técnico uruguayo Óscar Washinton Tabárez, comienzan los problemas para el futbolista, que ve como pierde la titularidad en favor de su compañero Esteban. La situación no mejoró el curso siguiente con Fernando Vázquez, y el jugador, tras haber participado sólo en 11 encuentros en las dos últimas campañas, decide poner punto final a su estancia en Oviedo para firmar con el RCD Espanyol de Barcelona, donde a partir de 1999 vivió sus mayores éxitos como futbolista.

Juan Luis Mora se convierte en el portero titular del equipo blanquiazul, logrando proclamarse campeón de Copa en su primera campaña, pese a no ser titular en la final. En su segunda campaña, es el portero de referencia para el nuevo técnico Paco Flores, completando 42 partidos oficiales (goles encajados) durante el curso. Su estancia en Barcelona finaliza en el verano de 2002, cuando queda libre de contrato y ficha por el Xerez de la Segunda División, después de haber participado en 85 encuentros con los periquitos, en los que recibió 96 goles. Tras una buena campaña con el equipo andaluz, en la que encajó 52 goles en 44 encuentros, Mora ficha por el Levante UD, club con el que logra el ascenso a Primera División en su primera temporada, habiendo sido titular en 40 partidos de Liga, con sólo 29 goles encajados. Mora se mantuvo como titular en Primera División, encajando 58 goles en 38 encuentros, no pudiendo conseguir la permanencia.

En el verano de 2005, cuando Andrés Palop, cansado de ser el eterno suplente de Santi Cañizares, decidió abandonar el club de Mestalla, el Valencia CF se vio en la necesidad de buscar un portero de garantías para ocupar el puesto de segundo portero del equipo. No tuvo que buscar muy lejos. Ese mismo verano, tras el descenso del Levante, Juan Luis Mora quedaba libre, por lo que el Valencia no desaprovechó la oportunidad y se hizo con sus servicios. Mora llegaba al club blanquinegro con 32 años y una larga trayectoria en Primera División, con más de 230 partidos en la máxima categoría del fútbol nacional. Internacional sub-21 y campeón de Europa con esta selección, había participado, además, en los Juegos Olímpicos de Atlanta 96.

Mora permanece tres temporadas en la plantilla del Valencia CF sin llegar a ser titular y apenas jugar. En su primer curso fue adelantado por el joven Ludovic Butelle en las preferencias de Quique Sánchez Flores, algo que se repite en la segunda campaña. En su tercer año, la llegada del alemán Timo Hildebrand le dejó sin opciones, y únicamente tuvo la oportunidad de aparecer en algunos partidos debido a que Santi Cañizares había sido apartado del equipo por Ronald Koeman. Al finalizar la temporada 2007-2008, tras expirar su contrato, es fichado de nuevo por el Levante, donde permanece dos temporadas, en las que participa en 12 partidos y encaja 17 goles. En el verano de 2010, tras certificarse el ascenso a Primera del equipo granota, el guardameta decide colgar las botas a la edad de 37 años, incorporándose a la secretaría técnica del club valenciano.